multiple int. revised

attention

polar

1. range of $\theta$ is $[0, \pi]$, if change to $2\theta$, then range of $\theta$ is $[0, \frac{\pi}{2}]$
   联系图像，注意自变量取值变化
2. 积分失败立马检查积分原式，大概率漏了jacobian或者n-1次项
3. 在连续函数中$f_{xy} = f_{yx}$,所以在积分时候，积分$\theta, r$顺序无所谓，关注积分取值即可 -[ ]

triple

1. 立体图形是灵活的…，第一步一定选择光滑且投影上下重合那个面，太妙了兄弟，第一次我直接切割分布计算浪费时间
2. 根据形状选择合适的积分顺序是技术

general

1. 抄写漏项
2. 积分容易漏积，对y积分记得把所有类常数都添上一个y
3. 时刻写上取值，我曾经多积一次
4. 开始积分之前，先核实三个取值区间是否是正确的
5. 三角函数的积分明显出错率比较高，请及时解决
6. 表达式写对，积分写对

double integral in catisian coordinate

double integral in polar coordinate

important skill

how to draw a graph in cartisian coordinate

1. r = xxx θ的形式，画出图像，直观看出r在θ变时长度的变换
2. 记住常见的极坐标图像
3. 确认对称性和取点和1相同

how to change cartisian coordinate to polar coordinate

1. first, we should see difference

$\text{domain of x and y, and the shape that f(x,y) produce}$

1. you draw the domain/Area of x and y to see the relation with $r \text{ and } \theta$
   要你换成极坐标计算，会有显著特征

more

比如原式无法直接积分。此时定会给出x与y的取值，直观看就是在xy平面上的一块区域，
因为与极坐标相关，必定为圆形，
从图中/原本的积分上下界读出r和θ的取值，然后用极坐标的公式计算

1. 代换的时候，mind jacobian–r,直接把dxdy -> drd$\theta$, 为啥
2. 形式确认！！积分前一定要确认 积分取值+极坐标公式+r+两个积分对象，我极坐标公式以及r都漏写过，体积表达式写错过

back to basic integration–sub. in trigonometric

triple integral

1. triple intrgral of F over D (D is the reigeon in space i.e. the object)
2. 形式确认！！

$\int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_{1}(x)}^{y=g_{2}(x)} \int_{z=f_{1}(x, y)}^{z=f_{2}(x, y)} F(x, y, z) d z d y d x .$

核心思路是投影，以及上下界，用线去截取，看先交汇于何处

cylindrical

1. 形式确认！！

$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\iiint_{D} f d V=\iiint_{D} f d z r d r d \theta .$

2. bridging between variable, from z to r, from r to theta
3. 明确置换关系

spherrical

$\rho,\text{是点到原点距离， }\phi\text{是与z轴正方向夹角},\theta\text{是x-y平面内夹角},$

1. 形式确认！！

$\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\iiint_{D} f d V=\iiint_{D} f d z r d r d \theta .\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\iiint_{D} f(\rho, \phi, \theta) d V=$

$\iiint_{D} f(\rho, \phi, \theta) \rho^{2} \sin \phi \text{ }d \rho d \phi d \theta .$

2. jacobian $\rho^{2} \sin \phi$
3. $\phi, \rho$在三维空间内，圆柱球体，几何含义统一

subtitute

1. 在前面的实践中发现，无非是把xyz的坐标系中变量换元为，极坐标，圆柱坐标，球坐标系
2. 坐标之间是怎么联系的呢，现在介绍jacobian
3. 形式确认！！二维
4. 
5. 有几次变换就有几次jacobian，全部都要乘上
6. jacobian利用的是determinant在几何上具有比例的意义，面积比，体积比都是统一的